Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell ist ein Modell, das verwendet wird, um die Preise von Optionen und Derivaten zu berechnen. Es wurde 1973 von Fischer Black und Myron Scholes entwickelt und ist eines der bekanntesten und am meisten verwendeten Finanzmodelle. Es ist auch als Black-Scholes-Merton-Modell bekannt, da Robert Merton später noch Änderungen vorgenommen hat.

Geschichte

Das Black-Scholes-Modell wurde 1973 von Fischer Black und Myron Scholes an der Universität von Chicago entwickelt. Es basiert auf der Theorie der Arbitrage-Preisbildung, die besagt, dass der Marktpreis einer Anlage einem fairen Preis entsprechen muss, der Arbitrage-Gewinne ausschließt. Im Jahr 1973 veröffentlichten Black und Scholes ihre Arbeit mit dem Titel "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Sie wurden 1997 für ihre Entwicklung des Modells mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet.

Erklärung

Das Black-Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell, das die Dynamik von Preisen und Renditen von Finanzinstrumenten wie Optionen und Derivaten wiedergibt. Es beinhaltet sowohl die Volatilität als auch die Zinsen und basiert auf einigen Annahmen, darunter:

• Der Markt ist effizient
• Es gibt keine Transaktionskosten
• Der Basiswert bewegt sich laut einer log-normalen Verteilung
• Es gibt kein Dividendenrisiko
• Es gibt keine Steuern
• Der Zinssatz ist konstant

Anwendung

Das Black-Scholes-Modell wird hauptsächlich verwendet, um den Preis von Optionen und Derivaten zu berechnen. Es kann auch verwendet werden, um zu bestimmen, wie sich Änderungen in den Parametern des Modells auf den Preis auswirken. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um zu bestimmen, wie sich eine Änderung der Volatilität oder der Zinsen auf den Preis auswirkt.

Berechnung

Der Preis einer Option wird durch das Black-Scholes-Modell wie folgt berechnet:

Preis = S0 × N (d1) - K × e-rt × N (d2)

In dieser Formel bedeutet:

S0 = der aktuelle Preis des Basiswerts

K = der Ausübungspreis

r = der Zinssatz

t = die Restlaufzeit der Option

N (d1) = die Standardnormalverteilung von d1

N (d2) = die Standardnormalverteilung von d2

d1 = [ln (S0 / K) + (r + σ2 / 2) × t] / (σ × sqrt (t))

d2 = d1 - (σ × sqrt (t))

Beispiele

Betrachten Sie ein Beispiel, in dem eine Call-Option auf einen Aktienindex mit einem Ausübungspreis (K) von 100 Euro, einer Restlaufzeit (t) von einem Jahr und einem Zinssatz (r) von 4% gehandelt wird. Der aktuelle Aktienindexkurs (S0) beträgt 105 Euro und die Volatilität (σ) beträgt 10%.

In diesem Fall würde der Preis der Call-Option wie folgt berechnet werden:

Preis = 105 × N (0,83) - 100 × e-0,04 × N (0,33)

Preis = 8,90 Euro

Alternativen

Es gibt einige Alternativen zum Black-Scholes-Modell, darunter:

• Binomial-Modelle
• Monte-Carlo-Simulationen
• Finite-Differenzen-Methoden

Vorteile

Das Black-Scholes-Modell hat einige Vorteile, darunter:

• Es ist ein einfaches Modell, das leicht verstanden und angewendet werden kann.
• Es ist ein sehr genaues Modell, das zu sehr präzisen Schätzungen führt.
• Es berücksichtigt die Volatilität und Zinsen, die für die Berechnung des Preises entscheidend sind.

Nachteile

Das Black-Scholes-Modell hat auch einige Nachteile, darunter:

• Es berücksichtigt nicht die Dividenden, die ein Basiswert ausschütten kann.
• Es ist ein deterministisches Modell, das nicht in der Lage ist, stochastische Ereignisse wie Marktstürme und andere Risiken zu berücksichtigen.
• Es berücksichtigt nicht die Transaktionskosten, die auf den Preis einer Option einwirken können.

Fazit

Das Black-Scholes-Modell ist ein sehr nützliches und allgemein anerkanntes Finanzmodell, das verwendet wird, um den Preis von Optionen und Derivaten zu berechnen. Es basiert auf einigen Annahmen, die nicht immer zutreffen, und es hat einige Nachteile, die berücksichtigt werden müssen. Dennoch ist es ein sehr hilfreiches Modell, das für viele Finanzprofis ein wichtiges Werkzeug ist.